Aplicación de
las matrices en circuitos eléctricos
Circuitos eléctricos
La intensidad de las corrientes y las
caídas de voltaje en un circuito eléctrico se rigen por las Leyes de Kirchhoff.
LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: La
suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo es cero.
LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE: La
suma algebraica de todos los cambios de potencial en cualquier bucle es cero.
Una aplicación frecuente de estas leyes es
cuando se conoce el voltaje de la fuerza electromotriz E (que por lo general es
una batería o generador) y los ohmios Rj de las resistencias, y se pide
calcular la intensidad ij de las corrientes, que circulan por cada segmento del
circuito.
Obsérvese que para cada elemento en el
circuito hay que elegir una dirección positiva para medir la corriente que
pasará a través de dicho elemento. Las elecciones se indican con flechas. Para
la fuente de voltaje E se toma como positivo el sentido del polo negativo al
positivo. Dicha elección condicionará también el signo de los cambios de
potencial en las resistencias. El cambio de potencial a través de las
resistencias será negativo cuando dicho cambio se mida en el mismo sentido que
la corriente, y positivo en el caso contrario.
Ejemplo:
En los nodos A y B tenemos: i1 -i2 -i3 =
0
En el bucle L1 tenemos:
E-R1i1-R2i2-R3i3 = 0
En el bucle
L2:
R1i1-R2i2-R3i3 = 0
1. Planteamiento del problema
Las matrices tienen un número cada vez más
creciente de aplicaciones en la solución de problemas en Ciencia y Tecnología.
Se aplicarán aquí al cálculo de corrientes
en una “red eléctrica”. Se dará tratamiento especial al recálcalo de las
intensidades de las corrientes en cada “bucle” de la red cuando se modifican
las fuerzas electromotrices de las fuentes, debido a fallas o cambios en las
mismas.
Ilustraremos esto a partir de un
ejemplo:
El siguiente diagrama presenta un modelo
sencillo de una red eléctrica constituida por baterías, cables y resistencias.
|
76i1
|
-25i2
|
-50i3
|
=1 0
|
|
-25i1
|
+56i2
|
-i3
|
= 0
|
|
-50i1
|
-i2
|
+106i3
|
= 0
|
Tal matriz se obtiene por el método del análisis de corrientes por bucles, después de la simplificación del mismo.
Observemos que los números 76, 56, 106 de
la diagonal son la suma de las resistencias en cada uno de los bucles.
Los números –25 y –50 y –1 corresponden a
las resistencias que se hallan en ramales comunes a los bucles vecinos.
Esta es la razón por la cual la matriz, en
este caso es obtenida por el método del análisis de corrientes por bucles, es
diagonalmente dominante.
La positividad de los elementos de la
diagonal, obtenidos por el análisis de corrientes por bucles, junto con la
diagonal dominancia, llevan a lo que la matriz obtenida sea positivo definida y
que sus auto valores sean positivos. Ello garantiza además que los pivotes que
aparecen en el método de Gauss sean diferentes de 0 y la matriz sea invertible,
por esto Hallamos la inversa de la misma forma que lo hicimos en el ejercicio
de criptografía utilizando el método de la matriz ampliada.
A
|
|||||||||||||||||||||||||
Realizando las operaciones ya conocidas
obtenemos la inversa de A.
|
A-1
|
||||||
|
|
0
|
0
|
!
|
3/946
|
1/587
|
13/811
|
|
0
|
1
|
0
|
¡
|
1/881
|
17/919
|
1/133
|
|
0
|
0
|
1
|
!
|
-2/127
|
-1/150
|
13/631
|
Luego multiplicamos la matriz inversa por
la matriz de coeficientes.
A-1
|
23/939
|
4/359
|
9/772
|
|
4/359
|
18/785
|
4/731
|
|
9/772
|
4/731
|
4/267
|
|
10
|
|
0
|
|
0
|
|
i1
|
|
i2
|
|
i3
|
|
133/543
|
|
39/7350
|
|
97/832
|
|
0,24493554
|
|
0,11142857
|
|
0,11658654
|
Las corrientes de cada malla son:
Ø I1= 0,24493554
Ø I2=
0,11142857
Ø I3 = 0,11658654
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